วันนี้จะเสนอวิธีพิสูจน์พื้นฐานอีกวิธี คือ การพิสูจน์โดยหาข้อขัดแย้ง ( Proof by contradiction ) แนวคิดก็คือ หากเราต้องการพิสูจน์ทฤษฎีหนึ่งโดยหาข้อขัดแย้ง เราจะเริ่มต้นด้วยการสมมติให้ทฤษฎีนั้นไม่เป็นจริงก่อน และแสดงว่าการสมมติแบบนี้จะนำไปสู่ข้อขัดแย้งที่ไม่เป็นจริง ดังนั้นทฤษฎีนี้จะไม่เป็นจริงไม่ได้ จึงได้ว่าทฤษฎีนี้เป็นจริง

ลองดูจากทฤษฎีต่อไปนี้ ( หวังว่าคราวนี้จะไม่ยากไปนะ )

Theorem : ไม่มีจำนวนตรรกยะใดเป็นคำตอบของสมการ $x^3+x+1=0$

Proof : สมมติให้มีจำนวนตรรกยะ $s$ เป็นคำตอบของสมการ $x^3+x+1=0$ เนื่องจาก $s$ เป็นจำนวนตรรกยะ จึงสามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ ให้ $s=p/q$ โดยเป็นเศษส่วนอย่างต่ำแล้ว และ $q!=0$ เราจะได้ว่า
$p^3/q^3+p/q+1=0$
เมื่อคูณทั้งสมการด้วย $q^3$ จะได้
$p^3+p*q^2+q^3=0$
เราจะแบ่งเป็นสี่กรณีที่เป็นไปได้
1. ทั้ง $p$ และ $q$ เป็นจำนวนคี่ จะได้ว่าทั้ง $p^3$, $p*q^2$, และ $q^3$ เป็นจำนวนคี่ทั้งสิ้น ดังนั้น $p^3+p*q^2+q^3$ เป็นจำนวนคี่ ซึ่งไม่เท่ากับ $0$ แน่นอน เกิดข้อขัดแย้ง
2. $p$ เป็นจำนวนคี่ และ $q$ เป็นจำนวนคู่ จะได้ $p^3$ เป็นจำนวนคี่, $p*q^2$ และ $q^3$ เป็นจำนวนคู่ เมื่อบวกกันก็เป็นจำนวนคี่ซึ่งไม่มีทางเท่ากับ $0$ ได้ เกิดข้อขัดแย้งเช่นกัน
3. $p$ เป็นจำนวนคู่ และ $q$ เป็นจำนวนคี่ จะได้ $p^3$ และ $p*q^2$ เป็นจำนวนคู่ และ $q^3$ เป็นจำนวนคี่ เมื่อบวกกันก็ได้จำนวนคี่ เกิดข้อขัดแย้งเหมือนเดิม
4. ทั้ง $p$ และ $q$ เป็นจำนวนคู่ เราจะได้ว่า $p/q$ มีตัวประกอบร่วม สามารถตัดทอนได้ ซึ่งแสดงว่าไม่เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ขัดแย้งอยู่ดี

ทั้งสี่กรณีสรุปได้ว่า ข้อสมมติที่เราตั้งไว้ตอนต้นนั้นไม่เป็นจริง ดังนั้น จึงไม่มีจำนวนตรรกยะใดเป็นคำตอบของสมการ $x^3+x+1=0$