คราวนี้เราจะมาวิเคราะห์เกี่ยวกับ cycle ในกราฟ $G_(S)$ ดู
เราจะกล่าวว่า string $s$ และ $t$ สมมูลกัน ($s-=t$) ถ้าเราสามารถ shift วนไปมาระหว่างกันได้ หรือกล่าวได้ว่าจะสมมูลกันเมื่อมี string $u$,$v$ ที่ $s=uv$ และ $t=vu$ ถ้าให้ $c$ เป็น directed cycle ในกราฟ $G_(S)$ ตามลำดับจุดยอด $i_(0),i_(1),...,i_(r-1)$ เราจะให้นิยาม $stri ng(c)$ เป็นคลาสสมมูล $[pref(i_(0),i_(1))pref(i_(1),i_(2))* * *pref(i_(r-1),i_(0))]$ และให้ $stri ng(c,i_(k))$ เป็นกรณีที่เริ่มต้นด้วย $pref(i_(k),i_(k+1))$ เราจะบอกว่า คลาสสมมูล $[s]$ มีคาบ $k (k>0)$ ถ้า $s$ shift ไป $k$ character แล้วเท่ากับ $s$ เหมือนเดิม จะเห็นว่า $[s]$ มีคาบ $|s|$ แน่นอน เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าคาบที่น้อยที่สุดของ $[s]$ จะเท่ากับขนาดของคลาส และจะแทนด้วย $card([s])$

นอกจากนี้ เราอาจแทน cycle $c$ ด้วยลำดับจุดยอดโดยแสดงเป็น $i_(1)->* * *->i_(r)->i_(1)$ และให้ $w(c)$ เป็นน้ำหนักของ $c$ ซึ่งจะเท่ากับ $|s|$ สำหรับ $s in stri ng(c)$ และเราจะกล่าวว่า string $s_(j) in c$ ถ้า $j$ เป็นจุดยอดใน $c$

Claim 1: แต่ละ string $s_(i_(j)) in c$ เป็น substring ของ $s^(k)$ สำหรับทุกๆ $s in stri ng(c)$ และค่า $k$ ที่ใหญ่มากพอ
Proof: หากเราให้ $m=ceil(|s_(i_(j))|//(w(c)))$ เราจะได้ว่า $s_(i_(j))$ เป็น prefix ของ $pref(s_(i_(j)),s_(i_(j+1)))* * *pref(s_(i_(j+mr-1)),s_(i_(j+mr)))=stri ng(c,i_(j))^(m)$ ซึ่งเป็น substring ของ $s^(k)$ สำหรับทุกๆ $s in stri ng(c)$ และ $k>m$ $square$

Claim 2: ถ้าแต่ละ $s_(j_(1)),...,s_(j_(r))$ เป็น substring ของ $s^(k)$ สำหรับบาง $s in stri ng(c)$ และค่า $k$ ที่ใหญ่มากพอ จะมี cycle ที่มีน้ำหนัก $w(c)=|s|$ ที่ครอบคลุม string เหล่านี้ทั้งหมด
Proof: หากเรานำ $s$ มาต่อกันเองให้ยาวไม่มีที่สิ้นสุด ทุกๆ string $s_(i)$ จะปรากฏเป็น substring ของ $s$ ทุกๆ $|s|$ character ซึ่งเราสามารถสร้าง cycle ตามลำดับที่ string ปรากฏ โดยจะได้ $w(c)$ เท่ากับ $|s|$ $square$

Claim 3: จะมี cycle $bar(c)$ ที่มีน้ำหนัก $card(stri ng(c))$ ที่ครอบคลุมทุกๆจุดยอดใน $c$
Proof: ให้ $u$ เป็น prefix ความยาว $card(stri ng(c))$ ของ string $s in stri ng(c)$ จากความรู้เรื่องคาบ เราจะได้ว่า $|u|$ หาร $|s|$ ลงตัว และ $s=u^(j)$ ซึ่งจะได้ต่อมาว่า ทุกๆ string ใน $stri ng(c)=[s]$ จะเป็น substring ของ $u^(j+1)$ และจาก Cliam 2 ก็จะพิสูจน์ได้ $square$